Robert Schall. ʼn Hekse-Sudoku? Die “Hexeneinmaleins” in Goethe se Faust

 

Die Hexeneinmaleins

Die 6de toneel van Goethe se tragedie Faust speel in die Hexenküche (Heksekombuis) af. “Mefisto het Faust hierheen gebring sodat hy die towerdrank kan ontvang wat die ouerige tuissitter in ‘n mooi jong man moet verander en waarmee hy binnekort ‘Helena in elke wyf’ sou sien.” (Detering, 2009) Faust self noem hy moet “dertig jare van sy lyf af kry”. Na die heks ʼn pak slae van haar “heer en meester” Mefistofeles gekry het, help sy graag (versreëls 2522 – 2525):

 

Met liefde! Hier het ek ʼn fles

waaruit ek soms my eie nadors les,

en wat ook byna nie meer stink;

ek wil u graag ʼn glasie skink.

Maar soos ʼn mens kan verwag, voor sy die glasie met die towerdrank kan skink, moet eers met seldsame gebare ʼn sirkel getrek word, glase moet klink en die ketel moet galm, en ʼn towerspreuk moet uit ʼn groot boek voorgelees word (2540 – 2552):

 

Die Hexe mit großer Emphase fängt an aus dem Buche zu deklamieren

Du mußt verstehn!

Aus Eins mach’ Zehn,

Und Zwei laß gehn,

Und Drei mach’ gleich,

So bist du reich.

Verlier’ die Vier!

Aus Fünf und Sechs,

So sagt die Hex’,

Mach’ Sieben und Acht,

So ist’s vollbracht:

Und Neun ist Eins,

Und Zehn ist keins.

Das ist das Hexen-Einmal-Eins!

Die Heks begin met groot nadruk uit die boek deklameer.

Jy moet verstaan!

Uit Een maak Tien,

en Twee laat gaan,

Drie maak gelyk

dan is jy ryk.

Verloor die Vier!

Uit Vyf en Ses,

so sê die heks,

maak Sewe en Ag –

nou kan jy tel:

en Nege is Een,

en Tien is geen.

So werk die heks se syferspel!

In die vers se laaste reël verwys die heks daarna as die Hexen-Einmal-Eins (Hekse-Maaltafel), en onder die naam Hexeneinmaleins (sonder die koppeltekens) is dit algemeen in Duits bekend.

 

Die Hexeneinmaleins as ʼn resep vir die konstruksie van ʼn semi-magiese vierkant

Die drama se twee hooffigure, Faust en Mefistofeles, én ʼn reeks Goethe-kenners stel dit duidelik dat die Hexeneinmaleins eintlik net ʼn nonsens-vers is (daaroor later meer). Nietemin is oor die jare ʼn hele verskeidenheid interpretasies van die towerspreuk van wisselende diepte en aanneemlikheid geopper (sien bv. https://de.wikipedia.org/wiki/Hexeneinmaleins). Van hierdie “verduidelikings” betrek wiskundige aspekte, en moontlik die aanvaarbaarste onder húlle het te doen met magiese vierkante. Diersche (1939) sê: “Daar behoort geen twyfel te wees nie dat ʼn mens die interpretasie van die Hexeneinmaleins as ‘n magiese vierkant, as ‘n oplossing vir sy raaisel kan beskou […]”. David Luke (1987) in ʼn “explanatory note” by sy Faust-vertaling, en die Duitse wiskundige Norbert Hermann (2014) verwys ook na dié interpretasie.

In die (perfekte) 3×3 magiese vierkant

 

2          7          6

9          5          1

4          3          8

 

is die syfers 1 tot 9 in ʼn vierkant opgestel, en wel so dat die som van die drie syfers in elke ry, in elke kolom en in albei diagonale dieselfde is, naamlik gelyk aan 15 (die sogenaamde magiese getal vir die 3×3 magiese vierkant). Terloops: die vierkant hierbo is die enigste 3×3 magiese vierkant, behalwe vir refleksies of spieëlings (ruil die eerste en derde kolom, of die eerste en derde ry, om) en rotasies (draai die vierkant met 90, 180 of 270 grade) wat niks werklik nuuts oplewer nie. As dit by 4×4 magiese vierkante kom waar die syfers 1 tot 16 georden word, is daar egter 880 unieke magiese vierkante, en daar is glo 275,305,224 verskillende 5×5 magiese vierkante.

Die heks se towerspreuk kan dan geïnterpreteer word as ʼn resep vir die konstruksie van ʼn 3×3 semi-magiese vierkant. ʼn Mens begin deur die syfers 1 tot 9 eenvoudig in volgorde in ʼn vierkant te orden:

 

            1          2          3

            4          5          6

            7          8          9

 

Die heks se instruksies is dan:

  1. Uit Een maak Tien: vervang die 1 met ʼn 10
  2. Twee laat gaan: die 2 bly staan, d.w.s. dit bly ʼn 2
  3. Drie maak gelyk: die 3 bly gelyk aan 3
  4. Verloor die Vier: Die 4 is weg – word ʼn 0
  5. Uit Vyf en Ses maak Sewe en Ag: Die 5 en 6 word onderskeidelik ʼn 7 en ʼn 8
  6. Nou kan jy tel – want die vierkant, met posisies 1 tot 6 ingevul, lyk nou so:

 

10        2          3

0          7          8

?          ?          ?

 

Die som van die drie syfers in albei rye wat reeds ingevul is, is gelyk aan 15 – siedaar, die magiese getal vir die perfekte 3×3 magiese vierkant! Om te verseker dat die som van die drie syfers in elke kolom ook gelyk aan 15 is, moet posisies 7, 8 en 9 met die syfers 5 = 15 – (10+0), 6 = 15 – (2+7) en 4 = 15 – (3+8) gevul word:

 

10        2          3

0          7          8

5          6          4

 

Dus, deur die heks se eerste ses instruksies te volg en dan “op te tel” om die laaste ry se syfers uit te werk, is die vierkant voltooi. Let op dat die som van die drie syfers in elke ry, in elke kolom en in die diagonaal van regs bo tot links onder gelyk is aan 15; die som van die syfers in die hoofdiagonaal (die diagonaal van links bo tot regs onder) is egter gelyk aan 21: die vierkant is dus nie ʼn perfekte magiese vierkant nie maar net ʼn semi-magiese vierkant.

 

ʼn Semi-magiese heks?

Dat die heks se resep net ʼn semi-magiese vierkant oplewer, is natuurlik ietwat van ʼn teleurstelling. Haar magie is tog seker veronderstel om perfek te werk, nie net semi-magies nie? Diersche (1939) vermoed dat die heks foute gemaak het toe sy uit die boek gelees het: “[…] dat dit [die konstruksie van die magiese vierkant] nie glad verloop nie, is gepas vir die problematiese aard van die heks en is geen rede om die interpretasie te verwerp nie.”

Daar is egter nog ʼn probleem, want daar is nog twee reëls in die towerspreuk wat soos instruksies klink (2550 – 2551):

 

en Nege is Een,

en Tien is geen.

Nege is Een verwys moontlik daarna dat die nege syfers nou in een vierkant georden is; of dat die 9 een van die getalle van die magiese vierkant is (Luke, 1987), al verskyn die 9 nié in die semi-magiese vierkant nie. Tien is geen kan weer beteken dat 10 nie een van die getalle van die (perfekte) magiese vierkant is nie (Luke, 1987), wat waar is, maar 10 is inderdaad een van die syfers in die heks se semi-magiese vierkant. Alles in ag genome blyk daar geen bevredigende verklaring vir hierdie twee laaste instruksies van die towerspreuk te wees wat mooi met die teorie van die resep vir ʼn semi-magiese vierkant se konstruksie klop nie, wat nog te sê van ʼn perfekte magiese vierkant. Op die klaarblyklike teenstrydighede lewer ook Mefistofeles kommentaar (2555 – 2558):

 

Ek weet, so klink die hele boek; in die verlede

het ek al baie tyd daarmee verkwis

want selfs die skreiendste teenstrydighede

bly ewe vaag, of jy ʼn swaap of wysgeer is.

Aangesien die heks óf foute gemaak het óf vrede het met die “skreiendste teenstrydighede”, moes die woorde Een en geen in reëls 2550 – 2551 moontlik omgekeerd verskyn het, naamlik

 

en Nege is geen,

en Tien is Een.

Die heks se laaste twee instruksies sou dan wees:

 

  1. Nege is geen: die nege verskyn nié in die heks se semi-magiese vierkant.
  2. Tien is Een: ons is terug, kringloop voltooi, by die towerspreuk se eerste reël: Uit Een maak Tien, dus: Tien is (gelyk aan) Een.

Ons sit nog steeds met net ʼn semi-magiese vierkant, maar die laaste twee instruksies lyk moontlik nou ʼn bietjie meer sinvol. Hoewel, as die omgekeerde volgorde aanvaar word (Nege is geen, // en Tien is Een), lui die towerspreuk se laaste drie reëls in Duits:

 

Und Neun ist keins,

Und Zehn ist Eins.

Das ist das Hexen-Einmal-Eins!

en daarmee sou hierdie volgorde op ʼn ietwat onbevredigende identiese rym Eins / Eins vir die slotkoeplet uitgeloop het. Dit was waarskynlik vir die heks én vir Goethe net een te veel. Derhalwe is dalk ʼn tipe rymdwang die rede vir die oënskynlik foutiewe of teenstrydige laaste twee “instruksies” in die Hexeneinmaleins.

 

Alles net nonsens?

Elkeen moet seker self besluit of die “verduideliking” vir die Hexeneinmaleins wat hier beskryf is oortuigend is. Faust, ten minste, is hoegenaamd nie beïndruk met die heks se gedoente en gebabbel nie. Reeds gedurende haar voorbereidings sê Faust verontwaardig vir Mefistofeles (2531 – 2535):

 

Nee, sê vir my, is dit jou raat?

Dié dolle snert, die wilde handgewaai,

dié lawwe, geklikste ou laai

is my te goed bekend, en lank gehaat.

waarop Mefistofeles antwoord (2536 – 2539):

 

Ag, lag daaroor! Dis net ʼn klug;

jy is nog altyd veels te stug!

As arts moet sy ʼn hokus-pokus maak

sodat die sap jou later nie versaak.

Na die heks haar towerspreuk opgesê het, verklaar Faust (2553):

 

Dit lyk vir my die ouvrou yl.

waarop Mefistofeles droogweg reageer (2554):

 

Die saak duur seker nog ʼn wyl.

Die groot Duitse Goethe-kenner Albrecht Schöne lewer die volgende kommentaar oor die Hexeneinmaleins: “Met ʼn terugverwysing na okkulte geskrifte van die Laat Middeleeue en die Renaissance, na die Kabbalistiese syfermistiek of na magiese vierkante … het mense keer op keer probeer om te ontraaisel wat tog ongetwyfeld as nonsens, as ʼn sinlose […] karikatuur van sulke towerlere en raaiselspreuke bedoel is.” Volgens Schöne het Goethe self sy tydgenote se probeerslae om sin uit hierdie onsin op te delf, bespot (Schöne, 2017b). Ook die ander groot moderne Goethe-kenner, Ulrich Gaier, noem dat Goethe nie veel van die pogings gedink het om die raaisel te ontraaisel nie, maar gaan dan aan om waarskynlik die heel diepsinnigste interpretasie ooit vir die Hexeneinmaleins te lewer. Dit is veels te diep om hier verder daarop in te gaan behalwe om te noem dat Gaier van mening is dat die Hexeneinmaleins as “politiese allegorie” gesien kan word, en hy verwys na die veranderings in stemgetalle in die Franse Nasionale Vergadering na die Franse Revolusie (Gaier, 1999).

Vir Gero von Wilpert is die Hexeneinmaleins bloot ’n “brabbel-snert-gedig”, ʼn satire oor hokus-pokus en abrakadabra waarmee Goethe die tipies Duitse verlange om betekenis in elke stukkie snert te sien, mislei. Dus is dit ‘n “Goethe-vers waarmee jy jou straffeloos kan vermaak sonder om dit te verstaan: briljante snert” (von Wilpert, 2007).

Les bes skryf Heinrich Detering: “Die Hexeneinmaleins is verreweg nie die enigste gedig- of lied-insetsel in Goethe se wêreldgedig nie, nie eers die enigste in die komies-operatiese Hexenküche self nie. Maar min [van hierdie insetsels] het die interpretasiedrang van ʼn Goethe-ontsyfer-sindikaat so kragtig geprikkel soos hierdie een. Vir twee eeue het professionele filoloë en entoesiastiese dilettante met die hekseverse klippe gekou. Hulle verhaal lees soos ʼn les oor ʼn Goethe-interpretasie wat betroubaar altyd die diepsinnigheid van die teks gesoek het waar dit die minste te vinde was” (Detering, 2009). Hierdie ontsyfer-sindikaat doen presies waarteen Mefistofeles in ʼn kommentaar oor die heks se manewales waarsku (2565 – 2566):

 

Gewoonlik glo die mens, solank hy woorde hoor,

die boel bargoens moet hom ook iets te denke gee.

Hiermee bevestig die duiwel, en dié keer moet ʼn mens sy woorde miskien nie verwerp nie, dat die hele towerspreuk en daarmee alle pogings vir sy verduideliking in elk geval bloot onsin is, ʼn boel bargoens of koeterwaals. Ook hierdie artikel is dan onsinnig, behalwe dat dit twee dinge doen: eerstens staaf dit Von Wilpert se stelling oor “die tipies Duitse verlange om betekenis in elke stukkie snert te sien”; tweedens maak dit die skrywer ʼn lid van Detering se “ontsyfer-sindikaat … [wat] diepsinnigheid [soek] waar dit die minste te vinde [is].”

 

Die towerdrank werk

Onsinnige “brabbel-snert-gedig” of te nie, op die ou end werk die towerspreuk en -drank uitstekend: in die toneel wat direk op die Hexenküche volg, ontmoet Faust die bloedjong Margarete – daar is twyfel of sy hoegenaamd veertien jaar oud is – en al duur die ontmoeting net ʼn paar sekondes, is hy onmiddellik dolverlief op die meisie en wil haar nog dieselfde nag in die bed kry. Hoewel dit toe ʼn bietjie langer vat om die snuifie te reël as wat Faust graag wil hê, blyk dit tog gou dat Margarete beïndruk is met die heer “van hoë stand” wat sy ontmoet het, ook sy raak mettertyd verlief, en die drama neem sy onvermydelike, treurige verloop.

 

Verwysings

Detering H (2009). Aus Eins mach Zehn? Und Zwei lass gehn? In: Frankfurter Allgemeine Sonntagszeitung, 26. April 2009 (bl. 56)

*Diersche M (1939). Das Hexeneinmaleins im Faust als magische Figur. In: Reclams Universum, Bd. 55 (bl. 1531 – 1533)

Gaier U (1999). Johann Wolfgang Goethe: Faust-Dichtungen. Band 2: Kommentar I. Stuttgart: Reclam (bl. 313 – 314)

*Hermann N (2014). Mathematik und Gott und die Welt. Berlyn en Heidelberg: Springer-Verlag (bl. 11 – 13)

Luke D (1987). Faust. A new translation. Oxford: Oxford University Press (bl. 160)

Schöne A (redakteur) (2017a). Johann Wolfgang Goethe: Faust. Texte (2de druk 2019). Berlyn: Deutscher Klassiker Verlag (bl. 109)

Schöne A (2017b). Johann Wolfgang Goethe. Faust. Kommentare (2de druk 2019). Berlyn: Deutscher Klassiker Verlag (bl. 287 – 288)

*Von Wilpert G (2007). Die 101 wichtigsten Fragen: Goethe. München: Beck (bl.164)

Notas:

  1. Die met * gemerkte bronne word aangehaal soos in https://de.wikipedia.org/wiki/Hexeneinmaleins gedokumenteer (besoek 22 Februarie 2022).
  2. Die Duitse teks van die Hexeneinmaleins kom uit Schöne (2017a); alle Afrikaanse vertalings uit Faust deur die outeur.
  3. Alle bronne is oorspronklik in Duits; vertalings in Afrikaans deur die outeur.
  4. ʼn Alternatiewe vertaling van die Hexeneinmaleins:

Jy moet verstaan!

Uit Een maak Tien,

en Twee laat gaan,

ook Drie ontsien

dan is jy reg.

Die Vier moet weg,

en Vyf en Ses

gee gou-gou bes,

word Sewe en Ag:

dis die bedrag!

En Nege is geen,

en Tien is Een.

So tel die hekse op en af!

  1. Enige kommentare op die vertalings uit Faust is baie welkom.

Bookmark and Share

Een Kommentaar op “Robert Schall. ʼn Hekse-Sudoku? Die “Hexeneinmaleins” in Goethe se Faust”

  1. Mellet Moll :

    Baie dankie, hierdie essay bevat baie stof tot nadenke oor inkantasies en towerspreuke.

    Goethe self het heelwat teenstrydige kommentaar in sy leeftyd kwytgeraak waarin hy byvoorbeeld in die breë ontken dat hy wiskundige verbande in sy poëtiese tekste kodeer. Maar ‘n mens moet ook aanvaar dat hy nie onnodig die geheim sal weggee nie en die interpretasie van die teks aan die leser sal oorlaat.

    Daar is natuurlik ook ‘n lesing van hierdie teks waarin daar na Pascal se driehoek verwys word as ‘n moontlike oplossing vir die raaisel.

    Dit is belangrik om daarop te let dat laasgenoemde ook as Khayyam se driehoek bekend staan. Omar Khayyam was natuurlik net so bekend as wiskundige as vir die kwatryne waarvoor die poësiewêreld hom ken.

    Ek dink dit is uiters ambisieus om wiskundige verbande, formules of identiteite in digvorm te kodeer, maar nie onmoontlik nie. Die gevaar is natuurlik dat een van die twee velde, wiskunde of poësie, afgeskeep word ten gunste van die ander. Omdat wiskunde ‘n universele waarheid is, sou enige wiskundige foute of obskuriteite fataal wees vir die teks. Soortgelyk kan die uitdrukking van die korrekte wiskunde nie altyd en noodwendig tot goeie poësie lei nie. Selfs in Faust lê die sukses van die teks in geheel nie noodwendig in een subteks nie.

    Ek vermoed die meeste digters sou dus wiskunde en wiskundige begrippe metafories wil betrek. Die konvergensie van beide velde is uiters seldsaam.